執筆：北海道札幌市　北嶺中・高等学校　数学科教諭　須藤茂樹

～問題：8に8を888回かけて7で割った余りを求める～

テーマの問題を解くにあたって、まず、試しに8×8や8×8×8を7で割った余りをふつうに計算してみましょう。

8×8=64で、8×8×8=512です。

したがって、64÷7=9余り1、そして512÷7=73余り1

どちらも余りは１だから答えは１かな？と予想できるかもしれません。しかし、いくつか試しに計算をして、その余りが同じだからといって、この問題の答えを示したことにはなりません。

実際にコンピューターに、8に8を888回かける計算をさせると、803桁の数になります。このような大きな数を単純な手計算で解くのは困難でしょう。

しかし、計算の仕方を工夫してみると、簡単に答えを出すことができます。

「計算のきまり」の中で習った、数の「分配法則」を活用してみましょう。

(〇＋△)×□＝〇×□＋△×□(〇△□は数)という等式に成立する法則です。

(〇＋△)×□は□×(〇＋△)でも同様とします。

「〇と△を足して□をかけた数」は、「〇と□をかけた数」に「△と□をかけた数」を足した数と等しいという法則です。

例えば(1＋2)×4と、1×4＋2×4の答えはどちらも12になりますね。
8×8を、この分配法則を用いて計算します。
8×8の8は下のように7＋1におきかえられます。

8×8＝(7＋1)×(7＋1)

次に、後ろの7＋1を「□」におきかえます。すると、分配法則から
(7＋1)×□＝7×□＋1×□と計算できます。

そして、おきかえた□を7＋1に戻し、また分配法則を用いると、下のように計算できます。

7×(7＋1)＋1×(7＋1)=7×7＋7×1＋1×7＋1×1

7×7＋7×1＋1×7＋1×1を7で割ったら余りは何になるでしょうか。

7×7、7×1、1×7はすべて7の倍数なので、この3つの数を足した数は同様に7の倍数ですから7で割り切れます。しかしさらに1×1を足した数は当然7で割り切れず、１余ります。確かに64÷7＝９余り１ですから、この結果は正しいことがわかりますね。

次に、8×8×8を7で割った余りを計算してみましょう。

8×8＝63＋1すなわち64は(7の倍数)＋1であることはわかっています。
ですから下のようにおきかえられます。

8×8×8=((7の倍数)＋1)×(7＋1)＝((7の倍数)×7)＋(7の倍数)×1＋1×7＋1×1

(7の倍数)×7、(7の倍数)×1、1×7はすべて7の倍数なので、それらを足しても7で割り切れます。しかし1×1は7で割り切れません。したがって余りは8×8と同様に1です。

8×8×8×8も同様にして8×8×8は7の倍数に1を足したものですから
同様に8×8×8 ＝(7の倍数)＋1と表すことができます。すると
8×8×8×8=((7の倍数)＋1)×(7＋1)となり余りは1となります。
8×8×8×8×8も、8×8×8×8×8×8も、同じように考えて余りは１であり、何回かけても余りは１になることがわかります。

よって、8に8を888回かけた数の余りは1となります。

分配法則がこのように役に立つことがあると、わかってくれましたか。

なお、こういった整数の性質を問う問題を整数問題といいます。

進学教室浜学園