算数で広がる世界

執筆：北海道札幌市　北嶺中・高等学校　数学科教諭　荻原悦夫

かつて北嶺中学の入試でも扱われた「ピタゴラス音階」を理解するには、小学校で学習する分数が分かれば十分です。ピタゴラスは古代ギリシャの人で、中学校で習う「ピタゴラス（三平方）の定理」にも名前が出てきます。

仮に、１メートルの長さの弦で低いドの音が出たとすると、２分の１の長さにしてはじくと（１オクターブ）高いドの音が、３分の２の長さにしてはじくと（完全5度高い）ソの音がそれぞれ出ます。ピタゴラスは、このことに着目して音階を構成したと言われています。
完全5度高い音は、白い鍵盤も黒い鍵盤も含めて数えて７番目にあたる音です。例えば、図の鍵盤で、低いドの音に対してソの音、ソの音に対して高いレの音、低いレの音に対してラの音、ラの音に対して高いミの音が、それぞれ完全5度高い音になります。このことを利用して、低いドの音を出す弦の長さを基準1として、他の音を出す弦の長さを決めていきます。まず、ソの音は３分の２、高いレの音は、完全5度高いのでさらに３分の２倍して９分の４、低いレの音は、１オクターブ低いので２倍して９分の８というように構成します。これを続けて、ラの音は２７分の１６、高いミの音は８１分の３２、低いミの音は８１分の６４、･･････という具合です。
　この辺までくると、分数も簡単でなくなってきます。分数を使う音階の仕組みには、「純正律」というのもあって、低いミの音は５分の４を対応させます。（簡単な分数のほうが、ドと響きがよく調和するのです。）
　音階の仕組みは、いくつもありますが、現在よく使われる「平均律」というのは、中学・高校で「無理数」を習うと理解することができます。算数（数学）の学習が進むにつれ、理解できる世界が広がるのも楽しみの一つです。